Matemaatika võib tihti tunduda abstraktse ja kaugena, eriti kui hakkame rääkima erinevatest arvuhulkadest ja nende definitsioonidest. Ometi on need mõisted meie igapäevaelu vundamendiks, alates sellest, kuidas me loendame poes õunu, kuni selleni, kuidas pangad arvutavad meie laenujääke või kuidas termomeeter näitab talvist pakast. Üks levinumaid segadusi tekib kahe põhilise mõiste vahel: naturaalarvud ja täisarvud. Kuigi need terminid võivad kõlada sarnaselt ja on omavahel tihedalt seotud, on nende vahel oluline põhimõtteline erinevus, mis määrab ära selle, milliseid tehteid me nendega sooritada saame. Selles artiklis võtame need mõisted “puust ja punaseks” lahti, et saaksid alatiseks selgeks, mis on mis ning miks see teadmine tegelikult kasulik on.
Mis on naturaalarvud?
Kõige lihtsam viis naturaalarvude mõistmiseks on mõelda ajaloole ja inimkonna esimestele sammudele matemaatikas. Naturaalarvud on need arvud, mida me kasutame esemete loendamiseks. Kui sa vaatad aknast välja ja loendad autosid või puid, kasutad sa naturaalarve. Need on kõige loomulikumad arvud, mistõttu neid nimetataksegi “naturaalseteks”.
Matemaatilises keeles tähistatakse naturaalarvude hulka tähega N. See hulk on lõpmatu, alates ühest ja liikudes edasi lõpmatuseni: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja nii edasi. Naturaalarvude peamine omadus on see, et need on terved ja positiivsed (või vähemalt mittenegatiivsed, sõltuvalt definitsioonist).
Suur vaidlus: kas null on naturaalarv?
Kui süveneda naturaalarvude maailma, põrkume kiiresti ühe matemaatikute vahelise kokkuleppe küsimusega. Kas null kuulub naturaalarvude hulka või mitte? See on koht, kus kooliõpikud ja ülikoolikursused võivad mõnikord erineda.
- Traditsiooniline lähenemine: Paljudes klassikalistes käsitlustes ja vanemates õpikutes algavad naturaalarvud ühest (1, 2, 3…). Nulli peetakse siin eraldi seisvaks mõisteks, sest “mitte millegi” loendamine ei tundunud ajalooliselt loomulik.
- Kaasaegne ja hulgateoreetiline lähenemine: Tänapäeval, eriti informaatika ja hulgateooria kontekstis, loetakse null tihti naturaalarvude hulka (0, 1, 2, 3…). Seda tähistatakse vahel sümboliga N₀.
Eestis õpetatakse põhikoolis enamasti, et naturaalarvud algavad nullist. Seega, kui keegi küsib sinult koolikontekstis naturaalarve, on turvaline alustada loetelu: 0, 1, 2, 3…
Mis on täisarvud ja miks neid vaja on?
Naturaalarvud on suurepärased loendamiseks, kuid nad jäävad hätta teatud situatsioonides. Kujuta ette olukorda, kus sul on 5 eurot, aga sa pead sõbrale maksma 7 eurot. Naturaalarvudega ei ole võimalik seda tehingut ega tekkivat võlga kirjeldada. Siin tulevadki mängu täisarvud.
Täisarvud on naturaalarvude edasiarendus. Täisarvude hulk, mida tähistatakse tähega Z (tuleb saksakeelsest sõnast Zahlen – arvud), hõlmab endas kolme komponenti:
- Positiivsed täisarvud (mis on samad, mis naturaalarvud alates ühest: 1, 2, 3…).
- Null (0).
- Negatiivsed täisarvud (-1, -2, -3…).
Lihtsustatult öeldes: täisarv on iga arv, mida saab kirjutada ilma murdosa või komakohata. See võib olla nii positiivne kui ka negatiivne. Näiteks -58, 0 ja 1924 on kõik täisarvud. Seevastu 3,14 või 1/2 ei ole täisarvud.
Peamised erinevused naturaal- ja täisarvude vahel
Nüüd, kus meil on definitsioonid paigas, vaatame lähemalt, kuidas need kaks hulka teineteisest erinevad ja kuidas nad kattuvad. Kõige olulisem on meeles pidada hierarhiat: kõik naturaalarvud on ühtlasi ka täisarvud, kuid mitte kõik täisarvud ei ole naturaalarvud.
Seda võib ette kujutada nagu vene matrjoška nukke. Väiksem nukk (naturaalarvud) mahub suurema nuku (täisarvud) sisse. Siin on konkreetne võrdlus:
- Ulatus: Naturaalarvud liiguvad nullist (või ühest) ainult positiivses suunas. Täisarvud laiendavad seda skaalat mõlemas suunas – nii positiivsesse kui ka negatiivsesse lõpmatusse.
- Märgid: Naturaalarvudel puudub miinusmärk. Täisarvudel võib olla miinusmärk.
- Tehted: Kui lahutada kahest naturaalarvust suurem arv väiksemast (nt 5 – 2), saame naturaalarvu. Kui aga lahutada väiksemast suurem (nt 2 – 5), ei ole vastus enam naturaalarv, vaid negatiivne täisarv. Täisarvude hulk loodigi selleks, et lahutustehe oleks alati sooritatav.
Arvtelg: visuaalne selgitus
Kõige parem viis täisarvude olemuse mõistmiseks on kasutada arvtelge. Kujuta ette pikka sirget joont.
Selle joone keskel asub null. Null on neutraalne – ta ei ole ei positiivne ega negatiivne. Nullist paremale poole jäävad positiivsed täisarvud (1, 2, 3…), mis on ühtlasi ka naturaalarvud. Mida kaugemale paremale sa liigud, seda suuremaks arvud lähevad.
Nullist vasakule poole jäävad negatiivsed täisarvud (-1, -2, -3…). Need on naturaalarvude “peegelpildid”. Mida kaugemale vasakule sa nullist liigud, seda väiksemaks arv tegelikult muutub (nt -100 on väiksem kui -1), kuigi numbri kuju ise (absoluutväärtus) kasvab.
Täisarvude roll igapäevaelus
Võib tekkida küsimus, miks meil üldse on vaja negatiivseid arve ehk täisarve laiemas mõttes. Kas me ei saaks hakkama ainult loendamisega? Tegelikkuses on täisarvud moodsa maailma kirjeldamiseks hädavajalikud.
Rahandus ja pangandus
Kõige intuitiivsem näide on raha. Kui sinu pangakontol on raha, on see positiivne saldo. Kui sa kulutad rohkem kui sul on ja lähed “miinusesse” (näiteks krediitkaardiga või arvelduskrediidiga), muutub sinu saldo negatiivseks täisarvuks. Ilma negatiivsete täisarvudeta oleks võlgade ja kohustuste matemaatiline arvestamine äärmiselt keeruline.
Temperatuur
Eesti kliimas on negatiivsed täisarvud meile kõigile tuttavad. Termomeetri skaala on klassikalne vertikaalne arvtelg. Null kraadi on vee külmumispunkt. Kõik soojemad temperatuurid on positiivsed täisarvud (nt +20°C) ja külmemad on negatiivsed (nt -15°C). See näitab ilmekalt, kuidas täisarvud aitavad kirjeldada olekuid, mis on “allpool” kokkuleppelist nullpunkti.
Kõrgus merepinnast
Geograafias kasutatakse nullpunktina merepinda. Mäetipud on positiivse kõrgusega (nt Munamägi on 318 meetrit). Kuid on kohti, mis asuvad merepinnast madalamal, näiteks Surnumeri või Hollandi rannikualad. Nende kõrgust märgitakse negatiivse täisarvuga.
Tehted täisarvudega: märgid on olulised
Üks suurimaid väljakutseid, millega õpilased matemaatikas silmitsi seisavad, on tehetest arusaamine, kui mängus on negatiivsed täisarvud. Siin kehtivad kindlad reeglid, mis erinevad naturaalarvudega harjunud loogikast.
Liitmine ja lahutamine:
- Kui liidad negatiivse arvu (nt 5 + (-3)), on see sama mis lahutamine (5 – 3 = 2).
- Kui lahutad negatiivse arvu (nt 5 – (-3)), muutub see liitmiseks (5 + 3 = 8). See on põhimõte “miinus miinus annab plussi”.
Korrutamine ja jagamine:
- Positiivne arv korda negatiivne arv annab alati negatiivse vastuse (nt 2 * -3 = -6).
- Kaks negatiivset arvu korrutades annavad positiivse vastuse (nt -2 * -3 = 6). See reegel tekitab tihti segadust, kuid seda võib mõtestada kui “eituse eitamist”, mis viib tagasi jaatuse juurde.
Korduma kippuvad küsimused (KKK)
Siin on valik levinud küsimusi, mis aitavad kinnistada teadmisi naturaal- ja täisarvude erinevustest.
Kas -5 on naturaalarv?
Ei. Naturaalarvud on ainult positiivsed (või null). -5 on negatiivne arv, seega on ta täisarv, kuid mitte naturaalarv.
Kas 0 on täisarv?
Jah. Null on täisarv. Ta asub täpselt positiivsete ja negatiivsete täisarvude vahel. Samuti loetakse teda enamasti ka naturaalarvuks.
Kas murdarvud (nt 3,5) on täisarvud?
Ei. Täisarvud peavad olema “terved”. Murdarvud ja kümnendmurrud kuuluvad ratsionaalarvude hulka, kuid nad ei ole täisarvud ega naturaalarvud.
Mis on täisarvu tähis?
Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z. Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N.
Kas on olemas suurim täisarv?
Ei. Täisarvude hulk on lõpmatu mõlemas suunas. Alati saab liita ühe juurde, et saada suurem arv, või lahutada ühe, et saada väiksem arv.
Programmeerimine ja digitaalne maailm
Täisarvude mõistmine ei ole vajalik ainult matemaatikatunnis, vaid see on kriitilise tähtsusega ka infotehnoloogias ja programmeerimises. Arvutid salvestavad andmeid erinevates formaatides ja üks levinumaid andmetüüpe on integer (lühendatult sageli int).
Programmeerijad peavad pidevalt valima, millist tüüpi arve nad kasutavad. Kui on teada, et muutuja väärtus ei saa kunagi olla negatiivne (näiteks kasutaja vanus või toodete kogus laos), võidakse kasutada andmetüüpi, mis vastab olemuselt naturaalarvudele (sageli nimetatakse seda unsigned integer ehk märgita täisarv). See võimaldab salvestada suuremaid positiivseid arve, kuna negatiivse poole jaoks ei ole vaja mälu raisata.
Teisest küljest, kui muutuja võib minna negatiivseks (näiteks temperatuuri näit, pangakonto saldo või mängija punktiskoor, mis võib kahaneda), peab kasutama märgisega täisarvu (signed integer). Kui programmeerija eksib ja kasutab naturaalarvu tüüpi seal, kus oleks vaja täisarvu, võib see viia tõsiste vigadeni tarkvaras – näiteks olukorrani, kus negatiivse saldo asemel näitab programm ootamatult hiigelsuurt positiivset arvu, sest arvuti ei oska antud andmetüübiga negatiivsust tõlgendada.
Seega ulatub koolis õpitud erinevus naturaal- ja täisarvude vahel otseselt meie digitaalsesse igapäevaellu, mõjutades tarkvara töökindlust ja andmete täpsust meie nutiseadmetes.
