Matemaatika maailmas on vähe teemasid, mis oleksid samaaegselt nii elementaarsed kui ka lõputult paeluvad, kui seda on algarvud. Need numbrid on justkui aatomid keemias – fundamentaalsed ehituskivid, millest koosnevad kõik teised naturaalarvud. Kuigi algarvude definitsioon on petlikult lihtne, peidavad nad endas sügavaid saladusi, mida matemaatikud on püüdnud lahendada juba tuhandeid aastaid. Paljudele meenuvad kooliajast ehk vaid üksikud faktid, kuid tegelikkuses ümbritsevad need numbrid meid igapäevaselt, kaitstes meie pangakontosid ja hoides internetisuhtlust turvalisena. Selles artiklis võtamegi teema n-ö puust ja punaseks lahti: uurime, mis see algarv täpselt on, miks ta eriline on ja kuidas teda teiste numbrite seast eksimatult ära tunda.
Mis on algarv ja kuidas seda defineerida?
Kõige lihtsam viis algarvu mõistmiseks on vaadata tema jagajaid. Matemaatiline definitsioon ütleb, et algarv on ühest suurem naturaalarv, mis jagub ainult ühe ja iseendaga. See tähendab, et tal on täpselt kaks jagajat. Kui proovite algarvu jagada mis tahes muu numbriga, ei saa te tulemuseks täisarvu, vaid komakohaga vastuse.
Toome mõned näited, et pilt selgemaks saaks:
- Arv 2: Jagub ainult 1-ga ja 2-ga. See on algarv.
- Arv 5: Jagub ainult 1-ga ja 5-ga. See on algarv.
- Arv 6: Jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga ja 6-ga. Kuna tal on rohkem kui kaks jagajat, ei ole see algarv, vaid kordarv.
- Arv 13: Proovi, millega tahad – 2, 3, 4, 5… ükski ei jaga seda täpselt. Jagajateks on vaid 1 ja 13. Järelikult on tegemist algarvuga.
Oluline on mõista erinevust algarvu ja kordarvu vahel. Kõik naturaalarvud, mis on suuremad kui 1 ja ei ole algarvud, on kordarvud. Kordarve saab alati lahti kirjutada väiksemate arvude korrutisena (näiteks 6 = 2 × 3), kuid algarve enam lihtsamateks teguriteks lammutada ei saa.
Miks arv 1 ei ole algarv?
See on üks levinumaid küsimusi ja sageli ka komistuskivi. Intuitiivselt võib tunduda, et number 1 peaks olema algarv, sest ta jagub ju ainult ühe ja iseendaga (mis on samuti üks). Siiski on matemaatikud kokku leppinud, et 1 ei ole algarv.
Põhjus peitub matemaatika alustalas, mida nimetatakse aritmeetika põhiteoreemiks. See teoreem ütleb, et iga naturaalarvu (mis on suurem kui 1) saab kirjutada algarvude korrutisena ja see kirjapilt on ühene (kui tegurite järjekord kõrvale jätta). Näiteks arvu 12 saame tegurdada vaid ühel viisil: 2 × 2 × 3.
Kui me lubaksime arvul 1 olla algarv, siis see unikaalsus kaoks. Me võiksime kirjutada 12 = 2 × 2 × 3 × 1, aga ka 12 = 2 × 2 × 3 × 1 × 1 × 1 ja nii edasi. Segaduse vältimiseks ja teoreemide lihtsuse huvides on number 1 algarvude hulgast välja arvatud.
Kuidas algarve ära tunda: praktilised võtted ja jaguvustunnused
Väiksemate numbrite puhul on lihtne peast öelda, kas tegu on algarvuga või mitte. Suuremate numbrite puhul läheb asi keerulisemaks. Siiski on olemas kindlad meetodid ja nipid, kuidas kiiresti välistada kordarvud ja tuvastada potentsiaalsed algarvud.
1. Välista paarisarvud
Kõige esimene ja lihtsam samm on vaadata arvu viimast numbrit. Ainus paarisarv, mis on algarv, on 2. Kõik teised paarisarvud (4, 6, 8, 10, 34, 108 jne) jaguvad vähemalt kahega, seega on need kindlasti kordarvud. Kui uuritav arv on suurem kui 2 ja lõpeb numbriga 0, 2, 4, 6 või 8, võid kohe öelda, et see pole algarv.
2. Rakenda jaguvustunnuseid
Järgmine samm on kontrollida teisi lihtsaid jagajaid. Siin tulevad appi koolist tuntud jaguvustunnused:
- Jaguvus 3-ga: Liida kokku arvu numbrid. Kui saadud summa jagub 3-ga, jagub ka algne arv 3-ga. Näiteks arv 57. 5 + 7 = 12. Kuna 12 jagub 3-ga, siis jagub ka 57 3-ga (19 × 3) ja ei ole algarv.
- Jaguvus 5-ga: Kui arv lõpeb numbriga 0 või 5, jagub see 5-ga. Kui arv on suurem kui 5 ja lõpeb viie või nulliga, on tegemist kordarvuga.
3. Ruutjuure meetod
Kui oled välistanud jaguvuse 2, 3 ja 5-ga, kuid pole ikka kindel, kas tegu on algarvuga, ei pea sa proovima jagamist kõigi maailma numbritega. Piisab, kui kontrollid algarvulisi jagajaid kuni uuritava arvu ruutjuureni.
Näiteks, kas 113 on algarv?
- Arvutame ligikaudse ruutjuure: √113 on umbes 10,6.
- Peame kontrollima algarve, mis on väiksemad kui 10,6: need on 2, 3, 5 ja 7.
- 113 ei jagu 2-ga (paaritu arv).
- 1+1+3=5, ei jagu 3-ga.
- Ei lõpe 0 ega 5-ga, ei jagu 5-ga.
- 113 ÷ 7 = 16,14… ei jagu 7-ga.
Kuna ükski neist ei sobinud, võime kindlalt väita, et 113 on algarv. See meetod säästab tohutult aega.
Eratosthenese sõel – iidne meetod algarvude leidmiseks
Kreeka matemaatik Eratosthenes (ca 276–194 eKr) mõtles välja geniaalselt lihtsa süsteemi algarvude leidmiseks teatud vahemikus. Seda nimetatakse Eratosthenese sõelaks ja see töötab elimineerimise meetodil. Kujuta ette, et tahad leida kõik algarvud 1-st 100-ni:
- Kirjuta üles kõik arvud 2-st 100-ni.
- Tõmba ring ümber esimesele arvule (2) – see on algarv. Nüüd kriipsuta maha kõik 2-ga jaguvad arvud (kõik paarisarvud).
- Võta järgmine kriipsutamata arv (3). See on algarv. Kriipsuta maha kõik 3-ga jaguvad arvud (6, 9, 12…).
- Võta järgmine allesjäänud arv (5). Kriipsuta maha kõik 5 kordsed.
- Jätka seda protsessi. Kõik arvud, mis jäävad sõelale (pole maha tõmmatud), ongi algarvud.
See on visuaalne ja lollikindel meetod, mida kasutatakse koolides algarvude olemuse selgitamiseks tänapäevani.
Miks on algarvud meile vajalikud?
Võiks arvata, et algarvud on vaid teoreetiline meelelahutus matemaatikutele, kuid tegelikkuses tugineb neile kogu meie digitaalne turvalisus. Kaasaegne krüptograafia, eriti RSA-algoritm, kasutab ära fakti, et kahe hiigelsuure algarvu korrutamine on arvutitele lihtne, kuid saadud tulemuse (mis on samuti üüratu suur number) tagasi algarvudeks lahutamine on äärmiselt keeruline ja aeganõudev.
Kui teed pangaülekannet või saadad krüpteeritud sõnumit, kaitsevad sinu andmeid sisuliselt kaks suurt algarvu. Kui keegi leiaks kiire meetodi suurte arvude algarvuteguriteks lahutamiseks, variseks suur osa tänasest IT-turvalisusest kokku.
Lisaks tehnoloogiale kohtame algarve ka looduses. Näiteks teatud liiki tsikaadid (putukad) ilmuvad maa peale iga 13 või 17 aasta tagant. Bioloogid usuvad, et need algarvulised elutsüklid aitavad tsikaadidel vältida kiskjaid, kelle elutsüklid on lühemad ja sünkroniseeritud teiste perioodidega.
Huvitavaid fakte algarvude maailmast
Algarvud on täis üllatusi ja lahendamata mõistatusi. Siin on mõned faktid, mis panevad mõtlema:
- Lõpmatus: Algarve on lõpmatult palju. Seda tõestas juba Eukleides antiikajal. Ükskõik kui kaugele mööda arvtelge me liigume, alati leidub kusagil veel suurem algarv.
- Kaksik-algarvud: Need on algarvude paarid, mille vahe on täpselt 2. Näiteks (3, 5), (11, 13), (17, 19). Matemaatikud usuvad, et ka kaksik-algarve on lõpmatult palju, kuid keegi pole seda suutnud veel rangelt tõestada.
- Mersenne’i algarvud: Need on erilised algarvud kujul 2n – 1. Just seda tüüpi on enamik teadaolevaid suurimaid algarve, sest neid on arvutitega lihtsam otsida.
Korduma kippuvad küsimused (KKK)
Kas on olemas suurim algarv?
Ei, suurimat algarvu ei ole olemas, sest algarvude hulk on lõpmatu. Küll aga on olemas “suurim teadaolev algarv”, mida uuendatakse pidevalt, kui superarvutid leiavad uusi numbreid. Need numbrid on miljonite kohtade pikkused.
Kas negatiivsed arvud saavad olla algarvud?
Tavapärase definitsiooni järgi on algarvud naturaalarvud ehk positiivsed täisarvud, mis on suuremad kui 1. Seega -2, -3 või -5 ei loeta algarvudeks koolimatemaatikas ega enamikus rakendustes.
Mis on kõige väiksem algarv?
Kõige väiksem algarv on 2. See on ühtlasi ka ainus paarisarvust algarv. Kõik ülejäänud algarvud on paaritud.
Kuidas kontrollida, kas väga suur arv on algarv?
Väga suurte arvude puhul (sadades kohtades) ei piisa enam lihtsast jagamisest. Kasutatakse keerulisi tõenäosuslikke teste, nagu Miller-Rabini test. Need testid ütlevad väga suure kindlusega, kas arv on algarv, kuid 100% kindluse saamiseks on vaja veelgi mahukamaid deterministlikke algoritme.
Algarvude ilu ja jätkuv otsing
Algarvud on matemaatika üks puhtamaid ja salapärasemaid vorme. Nende jaotus tundub esmapilgul kaootiline – nad ilmuvad arvteljel justkui juhuslikult, kuid lähemal uurimisel alluvad nad siiski teatud statistilistele seaduspärasustele. Just see korra ja kaose vaheline tants on see, mis on lummanud inimkonna helgeimaid päid sajandeid.
Tänapäeval on algarvude otsimine muutunud omamoodi spordiks. Projektid nagu GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) ühendavad tuhandeid arvuteid üle maailma, et leida järgmine hiiglaslik algarv. See ei ole pelgalt hasart, vaid ka viis testida riistvara võimekust ja arendada uusi algoritme. Olenemata sellest, kas lahendad kooliülesannet või huvitud krüptograafiast, on algarvude mõistmine võti, mis avab ukse matemaatika sügavamasse olemusse. Nende äratundmine nõuab vaid natuke harjutamist ja tähelepanelikkust, kuid pakub avastamisrõõmu kogu eluks.
