Matemaatika võib paljudele meist tunduda keerulise ja abstraktse teadusena, täis sümboleid ja valemeid, mille tähendus jääb sageli kaugeks. Ometi on selle teaduse vundamendiks midagi äärmiselt lihtsat ja loomulikku, millega puutume kokku juba enne kooli minekut. Me kõik oleme lapsena loendanud sõrmi, mänguasju või trepiastmeid. Just see intuitiivne tegevus – loendamine – ongi aluseks ühele matemaatika kõige fundamentaalsemale mõistele. Kuigi termin ise võib kõlada ametlikult, on selle sisu meile kõigile tuttav ja igapäevaselt kasutatav, olles sillaks meie reaalse maailma ja matemaatilise süsteemi vahel.
Mis on tegelikult naturaalarv?
Kõige lihtsamalt öeldes on naturaalarvud need arvud, mida me kasutame esemete loendamiseks. Kui sa vaatad aknast välja ja loendad, mitu autot parasjagu mööda sõidab, kasutad sa naturaalarve. Need on arvud: 1, 2, 3, 4, 5 ja nii edasi lõpmatuseni. Matemaatikas tähistatakse naturaalarvude hulka suure tähega N (või stiliseeritult $\mathbb{N}$).
Naturaalarvude peamine omadus on see, et need on “terved” ja positiivsed (või mittenegatiivsed, sõltuvalt definitsioonist, millest räägime allpool). Nende hulka ei kuulu murdarvud (nagu 0,5 või 1/2), negatiivsed arvud (nagu -5) ega irratsionaalarvud (nagu pii). Naturaalarv on kõige puhtam ja lihtsam arvu vorm.
Kust see nimetus pärit on?
Termin “naturaalarv” tuleneb ladinakeelsest sõnast naturalis, mis tähendab loomulikku. See nimetus on väga tabav, sest need arvud tekkisid inimkonna ajaloos kõige esimesena ja kõige loomulikumal viisil. Erinevalt negatiivsetest arvudest või komakohtadest, mida pidi spetsiaalselt leiutama kaubanduse või teaduse tarbeks, eksisteeris vajadus loendada “üks, kaks, kolm” juba kiviajal.
Igivana vaidlus: kas null on naturaalarv?
Kui hakkate naturaalarve süvitsi uurima, põrkate peagi kokku ühe matemaatikamaailma suurima diskussiooniga: mis teha arvuga 0? Kas null on naturaalne?
Sellele küsimusele ei ole ühtset, ülemaailmset vastust, vaid see sõltub kontekstist ja kokkulepetest:
- Eesti koolimatemaatikas ja paljudes traditsioonilistes lähenemistes loetakse naturaalarvudeks arvud alates ühest: {1, 2, 3, …}. Selle loogika kohaselt ei ole null loendatav – me ei saa öelda, et meil on “null õuna”, kui me just ei taha rõhutada puudumist, kuid loendamisprotsess algab tavaliselt esimesest objektist.
- Hulgateoorias ja informaatikas (ning paljudes teistes riikides) loetakse sageli ka null naturaalarvude hulka: {0, 1, 2, 3, …}. See on kasulik just programmeerimises ja kõrgemas matemaatikas, kus tühihulk ja alguspunkt on kriitilise tähtsusega.
Segaduse vältimiseks kasutatakse matemaatikas tihti täpsustavaid sümboleid. Kui tahetakse kindlalt väita, et null on kaasatud, kasutatakse tähist N0. Kui tahetakse nulli välistada, kasutatakse tähist N* või N+.
Kuidas naturaalarve lihtsasti meelde jätta?
Paljud õpilased ja täiskasvanud ajavad segamini naturaalarvud, täisarvud ja ratsionaalarvud. Et “naturaalarv” jääks alatiseks meelde, tasub kasutada lihtsat mnemotehnikat ehk meeldejätmise nippide süsteemi.
Mõtle loodusele
Sõna “naturaalne” viitab loodusele (inglise keeles nature). Küsi endalt: kas ma saan seda arvu looduses näidata?
- Kas sa näed metsas viite puud? Jah. (5 on naturaalarv).
- Kas sa näed aasal ühte kivi? Jah. (1 on naturaalarv).
- Kas sa näed miinus kahte jänest? Ei, looduses ei eksisteeri negatiivseid loomi. (-2 ei ole naturaalarv).
- Kas sa näed poolt rebast elusana jooksmas? Ei, poolik rebane ei ole “loomulik” nähtus. (0,5 ei ole naturaalarv).
See “looduse test” on kõige lollikindlam viis eristada naturaalarve teistest liikidest. Kui saad midagi sõrmedel loendada (isegi kui sul peaks olema miljon sõrme), on tegemist naturaalarvuga.
Naturaalarvude omadused ja tehted
Naturaalarvudel on kindlad omadused, mis teevad nendega arvutamise lihtsaks, kuid seavad ka teatud piirangud. Matemaatikas nimetatakse seda kinniseks hulgaks teatud tehete suhtes.
- Liitmine: Kui liidad kokku kaks naturaalarvu, on tulemus alati naturaalarv. (Nt 2 + 3 = 5). Sa ei saa liites kogemata murdarvu või negatiivset arvu.
- Korrutamine: Sama kehtib korrutamise puhul. Kaks naturaalarvu annavad korrutades alati tulemuseks naturaalarvu. (Nt 4 x 5 = 20).
- Lahutamine (piirangutega): Siin tekib probleem. Kui lahutad suuremast arvust väiksema, on kõik korras (5 – 2 = 3). Aga kui lahutad väiksemast suurema (2 – 5 = -3), ei ole tulemus enam naturaalarv, vaid täisarv. Seega ei ole naturaalarvude hulk lahutamise suhtes kinnine.
- Jagamine (piirangutega): Ka jagamine viib meid sageli naturaalarvude hulgast välja. 4 jagatud 2-ga on 2 (naturaalarv), kuid 3 jagatud 2-ga on 1,5 (murdarv).
Seos teiste arvuhulkadega
Et mõista suurt pilti, on hea teada, kus naturaalarvud asuvad arvude hierarhias. Kujuta ette vene matrjoška-nukke, mis käivad üksteise sisse.
Naturaalarvud (N) on kõige väiksem nukk kõige sees. See on tuum.
Selle ümber on Täisarvud (Z). See hulk sisaldab kõiki naturaalarve, nulli ja lisaks ka negatiivseid arve (…, -2, -1, 0, 1, 2, …).
Selle ümber on omakorda Ratsionaalarvud (Q). See sisaldab kõiki eelmisi ja lisaks murdarve (nagu 1/2, 0.75).
Kõige ümber on Reaalarvud (R), mis sisaldab kõike eelnevat ja lisaks irratsionaalarve (nagu $\sqrt{2}$).
Seega on iga naturaalarv tehniliselt ka täisarv ja ratsionaalarv, kuid mitte vastupidi. Iga täisarv ei ole naturaalarv.
Alg- ja kordarvud: naturaalarvude ehituskivid
Rääkides naturaalarvudest, ei saa mööda vaadata nende sisemisest struktuurist. Naturaalarvud, mis on suuremad kui 1, jagunevad kaheks oluliseks grupiks:
Algarvud on need naturaalarvud, mis jaguvad ainult iseenda ja ühega. Näiteks 2, 3, 5, 7, 11, 13. Need on nagu matemaatika aatomid – neid ei saa enam lihtsamateks teguriteks lahti võtta.
Kordarvud on naturaalarvud, millel on rohkem kui kaks jagajat. Näiteks 4 (jagub 1, 2 ja 4-ga), 6 (jagub 1, 2, 3 ja 6-ga). Iga kordarvu saab esitada algarvude korrutisena.
Huvitav fakt on see, et arv 1 ei ole ei algarv ega kordarv. See on omaette eriline ühik.
Korduma kippuvad küsimused (KKK)
Siin on vastused levinumatele küsimustele, mis inimestel seoses naturaalarvudega tekivad.
Kas -1 on naturaalarv?
Ei ole. Naturaalarvud on ainult positiivsed (mõne definitsiooni järgi mittenegatiivsed) täisarvud. Negatiivsed arvud kuuluvad täisarvude hulka.
Kas 0,5 on naturaalarv?
Ei. Naturaalarvud on terved arvud, mida kasutatakse loendamiseks. Murdarvud ja komakohaga arvud kuuluvad ratsionaal- või reaalarvude hulka.
Mis on kõige väiksem naturaalarv?
See sõltub definitsioonist. Eesti koolimatemaatikas on vähimaks naturaalarvuks 1. Paljudes teaduslikes kontekstides loetakse vähimaks naturaalarvuks 0.
Mis on kõige suurem naturaalarv?
Suurimat naturaalarvu ei ole olemas. Ükspuha kui suure arvu sa valid, alati saab sellele liita 1 ja saada veel suurema arvu. Naturaalarvude hulk on lõpmatu.
Miks tähistatakse naturaalarve tähega Z asemel tähega N?
Täht N tuleb sõnast naturalis. Täht Z tähistab täisarve ja tuleb saksakeelsest sõnast Zahlen (arvud).
Naturaalarvude roll digiajastul ja teaduses
Võib tunduda, et naturaalarvud on vaid algklasside teema, kuid tegelikkuses jookseb kogu meie kaasaegne maailm nende najal. Arvutiteadus põhineb binaarkoodil (nullid ja ühed), mis on olemuselt naturaalarvude süsteem info kodeerimiseks. Krüptograafia, mis kaitseb meie pangakontosid ja e-kirju, tugineb väga suurte naturaalarvude ja algarvude omadustele.
Ka igapäevane logistika, alates pakiautomaatide adresseerimisest kuni interneti IP-aadressideni, kasutab naturaalarve süsteemse korra loomiseks. Ilma selle lihtsa, “loomuliku” hulgata puuduks meil võimalus objekte järjestada, indekseerida ja identifitseerida. Seega, kui järgmine kord midagi loendad või järjekorranumbrit vaatad, tea, et kasutad üht inimkonna vanimat ja tähtsamat leiutist – naturaalarvu.
