Me oleme harjunud elama maailmas, kus keerulised matemaatilised tehted lahendab meie eest vaid sekundi murdosa jooksul taskus olev nutitelefon või arvuti. Kuid mis saab siis, kui aku on tühi, tehnoloogiat pole käepärast või soovid lihtsalt oma aju treenida viisil, mida koolis võib-olla enam põhjalikult ei õpetata? Ruutjuure leidmine peast või paberil tundub tänapäeval kadunud kunstina, ometi on see suurepärane viis arendada loogilist mõtlemist ja numbritunnetust. See ei ole pelgalt matemaatiline trikk, vaid praktiline oskus, mis aitab mõista arvude olemust sügavamalt. Järgnevas juhendis teeme selle protsessi “puust ja punaseks” selgeks, õpetades sulle mitu erinevat meetodit, kuidas jõuda õige vastuseni ilma ainsagi nupuvajutuseta.
Mis on ruutjuur ja miks seda on vaja mõista?
Enne arvutusmeetodite juurde asumist on oluline mõista, mida ruutjuur geomeetrilises ja aritmeetilises mõttes tegelikult tähendab. Kõige lihtsam on mõelda ruutjuurest kui ruudu külje pikkuse leidmisest, kui me teame ruudu pindala. Kui sul on maatükk pindalaga 25 ruutmeetrit ja see on täiuslik ruut, siis selle külje pikkus on ruutjuur 25-st, ehk 5 meetrit.
Matemaatiliselt tähistatakse ruutjuurt sümboliga √. Kui me küsime, mis on √x, siis me otsime arvu, mida iseendaga korrutades saame tulemuseks x. On olemas täiuslikud ruudud, mille juured on täisarvud (näiteks 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100), kuid enamik arve reaalses elus ei ole täiuslikud ruudud. Just siin muutubki käsitsi arvutamine põnevaks väljakutseks, sest me peame leidma võimalikult täpse ligikaudse väärtuse.
Meetod 1: Hinnanguline meetod ehk intervallide leidmine
Kõige kiirem viis ruutjuure leidmiseks igapäevastes olukordades, kus pole vaja ülimat täpsust, on hinnanguline meetod. See põhineb teadmisel täiuslikest ruutudest, mis asuvad otsitava arvu läheduses.
Oletame, et peame leidma √55. Toimi järgmiselt:
- Leia lähimad täiuslikud ruudud, mis on väiksemad ja suuremad kui 55.
- Teame, et 7 × 7 = 49 (see on väiksem).
- Teame, et 8 × 8 = 64 (see on suurem).
- Järelikult asub √55 kuskil 7 ja 8 vahel.
Kuna 55 on lähemal 49-le (vahe on 6) kui 64-le (vahe on 9), siis on vastus tõenäoliselt lähemal 7-le kui 8-le. Võime oletada, et vastus on umbes 7,4. Kontrollimiseks võime korrutada 7,4 × 7,4 paberil läbi, et näha, kui lähedale me jõuame. See meetod on suurepärane kiireks kontrolliks poes või ehitusplatsil.
Meetod 2: Babüloonia meetod (Herooni valem)
Kui soovid suuremat täpsust, on Babüloonia meetod (tuntud ka kui Herooni meetod) üks ajaloo vanimaid ja tõhusamaid algoritme. See on iteratiivne protsess, mis tähendab, et iga sammuga muutub vastus täpsemaks. Meetodi põhimõte on kasutada keskmistamist.
Võtame näiteks arvu, mille ruutjuurt tahame leida – tähistame seda tähega S. Oletame, et otsime taas √55.
- Tee esimene pakkumine (G). Kasuta eelmist meetodit. Pakume, et vastus on 7.
- Jaga arv (S) oma pakkumisega (G). 55 ÷ 7 ≈ 7,857.
- Leia aritmeetiline keskmine pakkumise ja jagatise vahel. (7 + 7,857) ÷ 2 = 7,4285.
- See uus arv on sinu uus ja palju täpsem pakkumine. Korda protsessi uue arvuga.
- Jaga 55 ÷ 7,4285 ≈ 7,4039.
- Leia uus keskmine: (7,4285 + 7,4039) ÷ 2 = 7,4162.
Tegelik √55 on ligikaudu 7,416198. Nagu näed, jõudsime juba teise sammuga äärmiselt lähedale. Mida rohkem samme teed, seda täpsemaks tulemus muutub. See on meetod, mida tegelikult kasutavad ka paljud arvutiprogrammid ja kalkulaatorid taustal töötades.
Meetod 3: Tegurdamine lihtsustamiseks
Mõnikord ei olegi vaja leida ruutjuure kümnendmurru väärtust, vaid lihtsalt avaldist lihtsustada. Seda nõutakse tihti koolimatemaatikas ja inseneriarvutustes täpsete väärtuste säilitamiseks. See meetod töötab hästi suurte arvude puhul.
Võtame näiteks √180. Meie eesmärk on leida selle arvu seest “peidus olevad” täiuslikud ruudud.
Lammutame 180 algteguriteks:
- 180 = 18 × 10
- 18 = 2 × 9 ja 10 = 2 × 5
- Seega 180 = 2 × 9 × 2 × 5
- Järjestame ümber: 2 × 2 × 9 × 5
Nüüd näeme paare ja täiuslikke ruute:
- 2 × 2 on 4 (ruutjuur on 2).
- 9 on täiuslik ruut (ruutjuur on 3).
- 5 jääb üksi.
Võtame ruutjuured välja: √4 on 2 ja √9 on 3. Need arvud korrutame omavahel ja toome juuremärgist ette: 2 × 3 = 6. Arv 5 jääb juuremärgi alla. Lõplik vastus on 6√5.
Meetod 4: Kirjalik ruutjuurimine (tulpmeetod)
See on meetod, mida õpetati koolides enne kalkulaatorite laialdast levikut. See sarnaneb visuaalselt pika jagamisega, kuid reeglid on veidi erinevad. See on parim viis, kui vajad täpset kümnendmurdu ja sul on kasutada vaid pliiats ning paber. Vaatame seda samm-sammult näite √529 varal.
Samm 1: Arvu rühmitamine
Jaga arv paremalt vasakule kaheste gruppide kaupa. 529 puhul saame grupid “29” ja “5”. Kirjuta see paberile nagu hakkaksid jagama, tõmmates joone arvu kohale ja kõrvale.
Samm 2: Esimese numbri leidmine
Vaata esimest gruppi (vasakpoolseim), milleks on “5”. Leia suurim täisarv, mille ruut on väiksem või võrdne 5-ga. See on 2, sest 2×2=4 (3×3 oleks juba 9). Kirjuta “2” vastuste ribale.
Samm 3: Lahutamine
Korruta leitud 2 iseendaga (saad 4) ja lahuta see 5-st. Jääk on 1. Nüüd too alla järgmine paar numbreid (29). Nüüd on sul arv 129.
Samm 4: Kahekordistamine ja lünga täitmine
See on kõige keerulisem osa. Võta senine vastus (2) ja korruta see kahega. Saad 4. Nüüd peame moodustama uue arvu kujul 4_ (kus _ on tundmatu number), mida korrutades sama tundmatu numbriga saaksime tulemuseks 129 või vähem.
Proovime:
- Kui paneme lünka 2: 42 × 2 = 84 (liiga vähe).
- Kui paneme lünka 3: 43 × 3 = 129 (täpne!).
Samm 5: Lõpetamine
Kuna 43 × 3 = 129, siis lahutades on jääk 0. Kirjuta number “3” vastuste ribale number 2 järele. Saime vastuseks 23. Kontroll: 23 × 23 on tõesti 529.
Kui arv ei oleks täiuslik ruut, jätkaksime komakohtadega, tuues alla nulle (paarikaupa “00”) ja korrates protsessi.
Korduma kippuvad küsimused
Kas negatiivsest arvust saab ruutjuurt võtta?
Reaalarvude hulgas ei saa, sest ükski arv (ei positiivne ega negatiivne) iseendaga korrutades ei anna negatiivset tulemust. Näiteks -2 × -2 = 4. Matemaatikas on selleks eraldi mõiste nimega imaginaararvud, kuid tavapärases “ilma kalkulaatorita” kontekstis ütleme, et lahend puudub.
Kas murrust saab ruutjuurt leida?
Jah. Murru ruutjuur on võrdne lugeja ruutjuure ja nimetaja ruutjuure jagatisega. Näiteks √(9/16) on võrdne (√9) / (√16), mis teeb vastuseks 3/4.
Miks ma peaksin seda oskama, kui mul on telefon?
Lisaks olukordadele, kus tehnika veab alt, arendab see oskus analüütilist võimekust. Babüloonia meetodi mõistmine aitab näiteks aru saada, kuidas töötavad algoritmid programmeerimises. Samuti aitab suurusjärkude hindamine vältida jämedaid vigu igapäevastes arvutustes (näiteks raamatupidamises või ehituses).
Milline meetod on kõige täpsem?
Käsitsi arvutamisel annavad kõige täpsemaid tulemusi Babüloonia meetod ja kirjalik tulpmeetod. Hinnanguline meetod sobib pigem kiireks kontrolliks.
Ruutjuure praktiline rakendamine ehituses ja disainis
Ruutjuure arvutamise oskus ei ole pelgalt teoreetiline teadmine; sellel on äärmiselt suur roll ehituses, puutöös ja isegi aiakujunduses, peamiselt tänu Pythagorase teoreemile. See kuulus teoreem (a² + b² = c²) võimaldab leida täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkuse, mis on hädavajalik täisnurkade kontrollimiseks.
Kujutage ette, et ehitate maja vundamenti või laote terrassi ja soovite veenduda, et nurgad on täpselt 90 kraadi. Mõõdulindiga on seda raske otse nurgast mõõta. Selle asemel mõõdate ühelt küljelt 3 meetrit ja teiselt küljelt 4 meetrit. Nende punktide vaheline diagonaal peab olema täpselt 5 meetrit (sest √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5). Kui aga külgede pikkused on keerulisemad, näiteks 2,5 meetrit ja 4,2 meetrit, peate diagonaali arvutamiseks leidma ruutjuure summast 2,5² + 4,2². Siin kulub marjaks ära oskus paberil või peast kiiresti hinnata, kas diagonaal on õige pikkusega, et vältida viltust ehitist.
Samuti on ruutjuur abiks materjalide planeerimisel. Kui teate, et ruudukujulise toa pindala on 20 ruutmeetrit ja peate ostma põrandaliiste, peate teadma toa ümbermõõtu. Selleks peate esmalt leidma ühe seina pikkuse (√20 ≈ 4,47 m) ja korrutama selle neljaga. Oskus leida ruutjuur ilma kalkulaatorita annab teile vabaduse ja kindlustunde lahendada probleeme lennult, sõltumata aku laetusest või Wi-Fi olemasolust.
